1. Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
du 1 u du
1. ∫u 2
+a 2
= arctg + c
a a
4. ∫ u
=2 u +c
du 1 u−a du u
∫ + c ( a > 0)
2. ∫ 2
u −a 2
= ln
2a u + a
+c 5.
a2 − u 2
= arcsin
a
du 1 a+u du
3. ∫a 2
−u 2
= ln
2a a − u
+c 6. ∫ u ±p2
= ln u + u 2 ± p + c
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
b
2
b 2 − 4ac
2. ax 2 + bx + c = ± ( mx + n ) ± p 2
2 2
1. ax + bx + c = a x + −
2a ÷
4a 2
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
dx
I. Dạng 1: A = ∫ ax 2
+ bx + c
dx dx 1 mx + n
1. Phương pháp: ∫ ax 2
+ bx + c
= ∫ ( mx + n ) 2
+p 2
=
mp
arctg
p
+c
dx dx 1 mx + n − p
∫ ax 2
+ bx + c
= ∫ ( mx + n ) 2
− p2
= ln
2mp mx + n + p
+c
2. Các bài tập mẫu minh họa
dx dx 1 d ( 2x + 2) 1 2x + 2 − 3
• A1 = ∫ =∫ = ∫ = ln +c
4 x + 8x + 1 ( 2x + 2) − 3 2 ( 2 x + 2) − ( 3 )
2 2 2 2
4 3 2x + 2 + 3
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
dx dx dx
A1 = ∫ ; A2 = ∫ 2
; A3 = ∫ 2 ;
2
3x − 4x − 2 −4x + 6x + 1 5x − 8x + 6
2 1 1
dx dx dx
A4 = ∫ 2
; A5 = ∫ 2
; A6 = ∫ 2
1
7x − 4x + 3 0
6 − 3x + 2x 0
4x − 6x + 3
9
2. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
( mx + n )
II. Dạng 2: B = ∫ dx
ax 2 + bx + c
( mx + n ) 2a (
m ( 2ax + b ) + n − mb
2a )
dx =
∫ ax ∫
1. Phương pháp:
B= 2
dx =
+ bx + c ax 2 + bx + c
= m
(
d ax 2 + bx + c ) + n − mb A = m
ln ax 2 + bx + c + n −
mb
2a ∫ 2
ax + bx + c
2a ÷
2a 2a ÷
A
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép x = x 0 tức là ax 2 + bx + c = a( x − x 0 ) 2
mx + n α β
thì ta giả sử: = + ∀x
ax + bx + c x − x0 ( x − x0 ) 2
2
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm α, β.
( mx + n ) β
Với α, β vừa tìm ta có: B = ∫ ax 2
+ bx + c
dx = α ln x − x0 −
x − x0
+c
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2 : ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x 2 ) thì ta
mx + n α β
giả sử = + ∀x
ax + bx + c x − x1 x − x2
2
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm α, β.
( mx + n )
Với α, β vừa tìm ta có: B = ∫ ax 2
+ bx + c
dx = α ln x − x1 + β ln x − x2 + c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
2x + 3 1 ( 18 x − 6 ) + 11
• B1 = ∫ dx = 9 3 d x = 1 ( 18 x − 6 ) d x + 11 dx
2
9x − 6x + 1 ∫ 2
9x − 6x + 1 9 ∫ 9x 2 − 6x + 1 3 ∫ 9x 2 − 6x + 1
1 d ( 9 x 2 − 6 x + 1) 11 d ( 3 x − 1) 2 11
=
9 ∫ 9 x 2 − 6 x + 1 + 9 ∫ ( 3x − 1) 2 = 9 ln 3x − 1 − 9 ( 3x − 1) + c
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
10
3. Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
B1 = ∫
( 7 − 3x ) dx ; B2 = ∫
( 3x − 4 ) dx ; B3 = ∫
( 2 − 7x ) dx
2 2
;
4x − 6x −1 2x − 7x + 9 5x 2 − 8x − 4
dx
III. Dạng 3: C = ∫
ax 2 + bx + c
du
1. Phương pháp: Bổ đề:
u +k
∫ 2
= ln u + u 2 + k + c
Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
dx dx 1
C= ∫ = = ln ( mx + n ) +
∫ ( mx + n ) 2 + k +c
ax 2 + bx + c ( mx + n ) + k m
2
dx dx 1 mx + n
C= ∫ = ∫ = arcsin ( p > 0)
ax 2 + bx + c p − ( mx + n )
2 2 m p
2. Các bài tập mẫu minh họa:
( x − 5)
2
dx 1 dx 5
C3 = ∫ − 45 + c
2∫
= = ln x − +
( x − 5)
• 4 x − 10 x − 5
2 2
45 4 4 16
−
4 16
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
dx dx dx
C1 = ∫ 3x 2 − 8x + 1
; C2 = ∫ 7 − 8x − 10x 2
; C3 = ∫ 5 − 12x − 4 2 x 2
( mx + n ) dx
IV. Dạng 4: D = ∫ ax 2 + bx + c
1. Phương pháp:
m ( 2ax + b ) dx mb dx m (
d ax 2 + bx + c ) − mb ×C
D=
2a ∫ 2
ax + bx + c
−
2a ∫ 2
ax + bx + c
=
2a ∫ 2a
ax 2 + bx + c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
1
( x + 4) d x 1
( x + 2) d x 1
dx
• D1 = ∫ =∫ + 2∫
0 x 2 + 4x + 5 0 x 2 + 4x + 5 0 x 2 + 4x + 5
1 d ( x 2 + 4 x + 5)
( )
1 1 1
dx
= ∫ x 2 + 4 x + 5 + 2∫ ( ) 2 = x 2 + 4 x + 5 + 2 ln ( x + 2 ) + x 2 + 4 x + 5
20 0 x + 2 +1 0
3 + 10
= 10 − 5 + 2 ln ( 3 + 10 ) − 2 ln ( 2 + 5 ) = 10 − 5 + 2 ln
2+ 5
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
11
4. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
( 5 − 4x ) dx ( 3x + 7 ) dx ( 8x − 11) dx
D1 = ∫ ; D2 = ∫ ; D3 = ∫
3x 2 − 2x + 1 2x 2 − 5x − 1 9 − 6x − 4x 2
dx
V. Dạng 5: E = ∫ ( px + q ) ax 2 + bx + c
1 − dt 1 1
1. Phương pháp: Đặt px + q = ⇒ p dx = 2 ; x = − q ÷. Khi đó:
t t pt
dx − dt pt 2 dt
E= ∫ ( px + q ) 2
ax + bx + c
= ∫1 a 1 b 1
2
=± ∫ 2
αt + βt + γ
− q ÷ + − q ÷+ c
t p2 t pt
2. Các bài tập mẫu minh họa:
x = 2 ⇒ t = 1
t + 1 x = 3 ⇒ t = 1
3
dx 1
• E1 = ∫ ( x - 1) 2
x - 2x + 2
. Đặt x − 1 = ⇒ x =
t t
; 2
2 −dt
dx = 2
t
3 12
dx − dt t 2
E1 = ∫ ( x-1) = ∫1
( ) − 2 ( t +t 1) + 2
Khi đó: 2 x 2 − 2x + 2 1 t +1
2
t t
1
( )
1
dt 1+ 5 2+2 2
= ∫
12
2
t +1
= ln t + t 2 + 1
12
= ln 1 + 2 − ln
2
= ln
1+ 5
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 3 3
dx dx dx
E1 = ∫ ( 2x + 3)
1
2
x + 3x − 1
; E2 = ∫ ( 3x − 4)
2
2
2x + 3x + 7
; E3 = ∫ ( x − 1)
2 x2 + 1
( mx + n ) dx
VI. Dạng 6: F = ∫ ( px + q ) ax 2 + bx + c
m ( px + q ) + n − mq
( mx + n ) dx p p ÷
dx
1. Phương pháp:
F =∫ = ∫
( px + q ) ax 2 + bx + c ( px + q ) ax + bx + c
2
m dx mq dx m mq
F=
p ∫ + n −
ax 2 + bx + c p ÷
∫ ( px + q ) ax 2 + bx + c
=
p
C + n −
p ÷
E
12
5. Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
2. Các bài tập mẫu minh họa:
1 1
1
( 2 x + 3) d x dx dx
F1 = ∫
0 ( x + 1) x + 2x + 2 2
=2 ∫0
2
x + 2x + 2
+ ∫ ( x + 1)
0 x 2 + 2x + 2
= 2I + J
1 1 1
dx dx 2+ 5
=∫ = ln ( x + 1) + ( x + 1) + 1
2
I= ∫
0 x2 + 2x + 2 0 ( x + 1) 2 + 1
0
= ln
1+ 2
x = 0 ⇒ t = 1
1 x = 1 ⇒ t = 1
1
dx
J= ∫ ( x + 1) 2
x + 2x + 2
. Đặt x +1= ⇒
t
2 . Khi đó:
0 dx = − dt
t2
12 1
− dt t 2 dt 1
2+2 2
J= ∫1 = ∫ = ln t + t 2 + 1 = ln
( 1t − 1) + 2 ( 1t − 1) + 2 1+ 5
2
1 12 t2 + 1 12
t
2+ 5 2+2 2 2( 9 + 4 5)
⇒ F1 = 2I + J = 2 ln + ln = ln
1+ 2 1+ 5 (1+ 2 ) (1 + 5)
1 ( 2 x + 1) + 5
-3 2
( x + 3 ) dx −3 2
2 2
• F2 =
∫
-2 ( 2x + 1) -x 2 - 4x - 3
= ∫
−2 ( 2 x + 1) − x − 4 x − 3
2
dx
−3 2 −3 2
1 dx 5 dx 1 5
=
2 ∫
−2
2
− x − 4x − 3
+
2 ∫ ( 2x + 1)
−2
2
− x − 4x − 3
=
2
I+ J
2
−3 2 −3 2
dx dx −3 2 π
= ∫ = arcsin ( x + 2 ) =
I= ∫
−2 −x2 − 4x − 3 −2 1 − ( x + 2)
2 −2 6
x = −2 ⇒ t = −1
−3 2 3
dx 1 1− t −3 ⇒ t = −1
J= ∫ ( 2 x + 1) − x2 − 4x − 3
. Đặt 2x + 1 = ⇒ x =
t
; x =
2t 2 2
2 dx = − dt
−2
t2
−1 2 −1 3
− dt 2t 2 dt
J= ∫ = ∫
( ) − 2 ( 1t − 1) − 3
2
1 −1 −5t 2 − 6t − 1
−1 3
1− 1 −1 2
t 4 t
−1 3 −1 3
1 dt 1 5t + 3 1 2 1
= ∫ = arcsin = arcsin 3 − arcsin 4 ÷
( ) ( )
5 2 2 5 2 −1 2 5
−1 2 2 − t+3
5 5
Vậy F2 = 1 I + 5 J = π +
2 2 12 2
5
arcsin 2 − arcsin 1
3 4 ( )
13
6. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1
( 4x + 7 ) dx 1
( 6 − 7x ) dx 1
( 7 − 9x ) dx
F1 = ∫ ( 8 − 5x )
0 3x 2 − 4x + 2
; F2 = ∫ ( 2x + 5)
0 x2 − x + 4
; F3 = ∫ ( 4x + 3)
0 2x 2 + x + 1
xdx
VII. Dạng 7: G = ∫ ( ax 2
+ b ) cx 2 + d
t2 − d t dt
1. Phương pháp: Đặt t = cx 2 + d ⇒ t 2 = cx 2 + d ⇒ x 2 = ; x dx =
c c
1 t dt 1 dt 1
Khi đó:
G= ∫
c a( t − d)
2
= 2
c ∫ =
at 2 + ( bc − ad ) c 2
×A
+ b t
c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
x = 0 ⇒ t = 1
1
xdx
• G1 = ∫( 5 - 2x 2 2
6x + 1)
2
. Đặt t = 6 x + 1 ⇒ x = 1 ⇒ t = 7 . Khi đó:
0
6 x dx = t dt
1
7
t dt 1
7
dt 11 4+ t
7
1 3 4+ 7 ( )
G1 =
6 ∫ 16 − t
2
=
2 ∫ = ln ÷ = 16 ln
42 − t 2 2 8 4 − t 1 5 4− 7 ( )
1
3 ÷t 1
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 2 1
x dx x dx x dx
G1 = ∫ ( 4x
1
2
−3 ) 5 − x2
; G2 = ∫ ( 5x
1
2
− 11 ) 7 − 3x 2
; G3 = ∫ ( 8 − 7x )
0
2
2x 2 + 1
dx
VIII. Dạng 8: H = ∫ ( ax 2
+ b ) cx 2 + d
1. Phương pháp:
2 2 2 2 2 d −td .dt
Đặt xt = cx + d ⇒ x t = cx + d ⇒ x = ⇒ xdx =
2
t −c ( t2 − c) 2
−td .dt ( t 2 − c )
2
dx xdx −dt
⇒ = = = 2 . Khi đó ta có:
cx + d x
2 ( xt ) td ( t − c )
2
t −c
dx − dt − dt
H= ∫ ( ax 2
+ b ) cx + d 2
= ∫ ad + b ( t 2 − c )
= 2
bt + ∫
( ad − bc )
=A
2 ÷
t −c
2. Các bài tập mẫu minh họa:
14
7. Bài 2. Tích phân các hàm số có mẫu số chứa tam thức bậc 2
3 x = 3 ⇒ t = 2
dx x2 + 3
• H1 = ∫( )
2
. Đặt xt = x + 3 ⇒ t = ⇒
3
x = 2 ⇒ t = 7
2 2
2 x -2 x +3 x
2
−3t dt
2 2 2 2 2 2
và x t = x + 3 ⇒ t − 1 x = 3 ⇒ x = 2 (3
t −1
⇒ x dx = )
( t 2 − 1) 2
−3t dt ( t 2 − 1)
2
dx x dx − dt
= = = 2 . Khi đó ta có:
x 2 + 3 x ( xt ) 3t ( t − 1) t −1
2
(2 2 − 15 ) ( 14 + 2 5 )
2 3 2 3
dt 1 t 2− 5 1
H1 = ∫ = ln = ln
7 2
2t − 5 2 10 t 2 + 5
2
7 2
2 10 (2 2 + 15 ) ( 14 − 2 5 )
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
2 2 2
dx dx x2 + 5
H1 = ∫ ; H2 = ∫ ; H3 = ∫ dx
1 ( 3 x 2 − 1) 5 x 2 − 2 1 ( x 2 + 3x + 2 ) x 2 + 3 x − 1 1 x2 + 2
( mx + n ) dx
IX. Dạng 9: I = ∫ ( ax 2
+ b ) cx 2 + d
xdx dx
1. Phương pháp: I =m ∫ ( ax 2
+ b ) cx + d 2
+n ∫ ( ax 2
+ b ) cx 2 + d
= mG + nH
2. Các bài tập mẫu minh họa:
3
( 4x + 3 ) dx 3
[ 4 ( x − 1) + 7] dx
• I1 = ∫(x 2
- 2x - 4 ) 3x - 6x + 5 2
= ∫ ( x − 1) 2
− 5 3 ( x − 1) + 2
2
2 2
2 2 2
( 4u + 7 ) du udu du
= ∫(u
1
2
− 5 ) 3u 2 + 2
=4 ∫(u
1
2
− 5 ) 3u 2 + 2
+7 ∫(u
1
2
− 5 ) 3u 2 + 2
= 4J − 7L
2
udu t2 − 2 tdt
Xét J = ∫(u
1
2
− 5 ) 3u 2 + 2
. Đặt t = 3u 2 + 2 ⇒ u 2 =
3
⇒ udu =
3
14
2 14 14
udu tdt dt 1 t − 17
J=∫ = ∫ ( t 2 − 17 ) t = ∫ t 2 − 17 = 2 ln
1 ( u − 5) 17 t + 17
2
3u 2 + 2 5 5 5
=
1 17 − 14
− ln
17 − 5 1 ( 17 − 14 ) 17 + 5 ( )
ln ÷= ln
2 17 17 + 14 17 + 5 2 17 ( 17 + 14 ) ( 17 − 5 )
15
8. Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương
2
du 2
Xét L = ∫(u 2 2 2 2 2
. Đặt ut = 3u + 2 ⇒ u t = 3u + 2 ⇒ u =
− 5 ) 3u + 2
2
1
2 2 t −3
−2tdt ( t 2 − 3)
2
−2tdt duudu dt
⇒ udu = ⇒ = = = 2 . Khi đó:
( t 2 − 3) 2 3u 2 + 2 u ( ut ) 2t ( t − 3)
2
t −3
2 14 2 14 2
du dt dt
L= ∫(u 2
− 5 ) 3u + 2 2
= ∫ 2 − 5 ( t 2 − 3)
= ∫ 17 − 5t 2
=
1 2 2 ÷ 2
t −3
1 1 17 + t 5
14 2
1 ( 70 + 2 17 ) ( 2 5 − 17 )
= × ln = ln
5 2 17 17 − t 5 2
2 85 ( 70 − 2 17 ) ( 2 5 + 17 )
⇒ I1 = 4J − 7L =
4
ln
( 17 − 14 ) ( 17 + 5 )− 7
ln
( 70 + 2 17 ) ( 2 5 − 17 )
2 17 ( 17 + 14 ) ( 17 − 5 ) 2 85 ( 70 − 2 17 ) ( 2 5 + 17 )
6 -1
( 2x + 1 ) dx 6 −1
[ 2 ( x + 1) − 1] dx
• I2 = ∫ ( x + 2x + 6 ) 2x + 4x - 1
2 2
= ∫ ( x + 1) 2 + 5 2 ( x + 1) 2 − 3
2 -1 2 −1
6
( 2u − 1) du 6
udu
6
du
= ∫ (u 2
+ 5 ) 2u 2 − 3
=2 ∫ (u 2
+ 5 ) 2u 2 − 3
− ∫ (u 2
+ 5 ) 2u 2 − 3
= 2J − L
2 2 2
6
udu t2 + 3 tdt
Xét J = ∫ (u 2
+ 5 ) 2u 2 − 3
. Đặt t = 2u 2 − 3 ⇒ u 2 =
2
⇒ udu =
2
2
6 3 3
udu tdt dt 2 3 1
J= ∫ (u 2
+ 5 ) 2u 2 − 3
= ∫(t
1
2
+ 13) t
= ∫t
1
2
+ 13
= arctg
13 13
− arctg ÷
13
2
6
du 3
∫ (u
2 2 2 2 2
Xét L = . Đặt ut = 2u − 3 ⇒ u t = 2u − 3 ⇒ u =
2
2
+ 5 ) 2u 2 − 3 2 − t2
3tdt ( 2 − t 2 )
2
3tdt du udu dt
⇒ udu = ⇒ = = = . Khi đó:
( 2 − t2 ) 2 2u 2 − 3 u ( ut ) 3t ( 2 − t 2)
2 − t2
6 3 6 3 6 3 6
du dt dt 1 dt
L= ∫ (u + 5 ) 2u 2 − 3
= ∫ 3
= ∫ 13 − 5t 2
=
51 ∫ 13 2
+ 5 ÷( 2 − t 2 )
2
2 1 2
1 2 2 −t
2−t 2
5
16
